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设m,n是给定的整数,4<m<n,A1A2…A2n+1是一个正2n+1边形,P={A1,A2,…,A2n+1}.求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数.
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设m,n是给定的整数,4<m<n,A1A2…A2n+1是一个正2n+1边形,P={A1,A2,…,A2n+1}.求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数.
▼优质解答
答案和解析
先证一个引理:顶点在P中的凸m边形至多有两个锐角,且有两个锐角时,这两个锐角必相邻.
事实上,设这个凸m边形为P1P2Pm,只考虑至少有一个锐角的情况,此时不妨设∠PmP1P2<
,则∠P2PjPm=π−∠P2P1Pm>
(3≤j≤m−1),
更有∠Pj−1PjPj+1>
(3≤j≤m−1).
而∠P1P2P3+∠Pm-1PmP1>π,故其中至多一个为锐角,这就证明了引理.
由引理知,若凸m边形中恰有两个内角是锐角,则它们对应的顶点相邻.
在凸m边形中,设顶点Ai与Aj为两个相邻顶点,且在这两个顶点处的内角均为锐角.
设Ai与Aj的劣弧上包含了P的r条边(1≤r≤n),这样的(i,j)在r固定时恰有2n+1对.
(1)若凸m边形的其余m-2个顶点全在劣弧AiAj上,而AiAj劣弧上有r-1个P中的点,此时这m-2个顶点的取法数为Cr-1m-2.
(2)若凸m边形的其余m-2个顶点全在优弧AiAj上,取Ai,Aj的对径点Bi,Bj,由于凸m边形在顶点Ai,Aj处的内角为锐角,
所以,其余的m-2个顶点全在劣弧BiBj上,而劣弧BiBj上恰有r个P中的点,此时这m-2个顶点的取法数为Crm-2.
所以,满足题设的凸m边形的个数为
=(2n+1)(Cn+1m-1+Cnm-1).
故顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数为:(2n+1)(Cn+1m-1+Cnm-1).
事实上,设这个凸m边形为P1P2Pm,只考虑至少有一个锐角的情况,此时不妨设∠PmP1P2<
π |
2 |
π |
2 |
更有∠Pj−1PjPj+1>
π |
2 |
而∠P1P2P3+∠Pm-1PmP1>π,故其中至多一个为锐角,这就证明了引理.
由引理知,若凸m边形中恰有两个内角是锐角,则它们对应的顶点相邻.
在凸m边形中,设顶点Ai与Aj为两个相邻顶点,且在这两个顶点处的内角均为锐角.
设Ai与Aj的劣弧上包含了P的r条边(1≤r≤n),这样的(i,j)在r固定时恰有2n+1对.
(1)若凸m边形的其余m-2个顶点全在劣弧AiAj上,而AiAj劣弧上有r-1个P中的点,此时这m-2个顶点的取法数为Cr-1m-2.
(2)若凸m边形的其余m-2个顶点全在优弧AiAj上,取Ai,Aj的对径点Bi,Bj,由于凸m边形在顶点Ai,Aj处的内角为锐角,
所以,其余的m-2个顶点全在劣弧BiBj上,而劣弧BiBj上恰有r个P中的点,此时这m-2个顶点的取法数为Crm-2.
所以,满足题设的凸m边形的个数为
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故顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数为:(2n+1)(Cn+1m-1+Cnm-1).
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