如图，有两条互相平行的直线l1，l2，点A，B在直线l1上，点D，C在直线l2上，连接AD，BC．已知∠ADC=90°，AB=3，DC=6，BC=5．点E是线段DC上任意一点，点F在线段AB的延长线上，且AE=AF，连接EF，与线

Question

如图，有两条互相平行的直线l₁，l₂，点A，B在直线l₁上，点D，C在直线l₂上，连接AD，BC．已知∠ADC=90°，AB=3，DC=6，BC=5．点E是线段DC上任意一点，点F在线段AB的延长线上，且AE=AF，连接EF，与线段BC相交于点G．
（1）求线段AD的长；
（2）求线段BF最大值与最小值；
（3）连接BE，FC，当BE∥CF时，求BF的长．

Answer 1

（1）作BM⊥CD于M，如图1所示：
∵∠ADC=90°，
∴BM∥AD，
∵l₁∥l₂，
∴四边形ADMB是矩形，
∴AD=BM，DM=AB=3，
∴CM=DC-DM=3，
∴AD=BM=√(BC2-CM2)=√(52-32)=4；
（2）当点E与C重合时，BF有最大值，连接AC，如图2所示：
则AE=AC=√(AD2+DC2)=√(42+62)=2√(13)，
∴AF=AE=2√(13)，BF的最大值=2√(13)-3；
当点E与D重合时，BF有最小值，
∵AF=AE=AD=4，
∴BF的最小值=4-3=1；
（3）如图3所示：当BE∥CF时，四边形BECF是平行四边形，
∴BF=CE，
设BF=CE=x，则AE=AF=AB+BF=3+x，DE=DC-CE=6-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD²+DE²=AE²，
即4²+（6-x）²=（x+4）²，
解得：x=1.8，
即BF的长为1.8．