研究函数的对称中心有如下结论：如果存在实数ab使恒成立，则（ab）为函数的图像的对称中心.（1）求证函数的图像的对称中心为（0

Question

研究函数的对称中心有如下结论：如果存在实数 a b 使 恒成立，则（ a b ）为函数 的图像的对称中心 .

   （ 1 ）求证函数 的图像的对称中心为（ 0 ， 1 ），并求函数 的图象的对称中心；

   （ 2 ）试用函数的性质及图象变换解释：“如果存在实数 a b 使 恒成立，则（ a b ）为函数 的图象的对称中心 . ”

   （ 3 ）是否存在函数 ，使函数 的图象有相同的对称中心（ c d ）？请对 时，说明你的结论与理由 .

Answer 1

（ 1 ）对于函数 恒成立，

所以 的图象的对称中心为（ 0 ， 1 ） .

设 的对称中心为（ a b ）

则 恒成立，

即 恒成立，

即 恒成立，

所以

所以 的图象的对称中心为（－ 1 ， 0 ）

（ 2 ）由

令 为奇函数，

其图像关于原点（ 0 ， 0 ）对称，

而函数 的图象可由 向右平移 a （ a>0 ）或向左平移 单位或不进行左右平移（ a=0 ），向上平移 b （ b>0 ）或向下平移－ b （ b<0 ）或不进行上下平移（ b=0 ）单位得到，所以 的图像的对称中心为（ a b ） .

说明：（ 1 ）中分别说明 ，仿（ 2 ）也可！

（ 3 ）假设存在函数 ，使 有相同的对称中心（ c d ）且 ，则 ，且

所以 的两个实数，

而该方程 当 时， ，

所以假设错误 .

所以，不存在函数 有相同的对称中心（ c d ），

其中 .