如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E。⑴求证：ME=MF；⑵如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索

Question

如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E。

⑴求证：ME=MF；
⑵如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明；
⑶如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由；
⑷根据前面的探索和图4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由。

Answer 1

（1）证明：过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，
∵M是正方形ABCD的对称中心，
∴M是正方形ABCD对角线的交点，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
在正方形ABCD中，∠A=90°，
∵∠MHA=∠MGA=90°，
∴∠HMG=90°，
在正方形QMNP，∠EMF=90°
∴∠EMF=∠HMG
∴∠EMH=∠FMG，
∵∠MHE=∠MGF，
∴△MHE≌△MGF，
∴ME=MF；
（2）ME=MF。
证明：过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，
∵M是菱形ABCD的对称中心，
∴M是菱形ABCD对角线的交点，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
∵BC∥AD，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠M=∠B，
∴∠M+∠BAD=180°
又∠MHA=∠MGF=90°，
在四边形HMGA中，∠HMG+∠BAD=180°，
∴∠EMF=∠HMG
∴∠EMH=∠FMG，
∵∠MHE=∠MGF，
∴△MHE≌△MGF，
∴ME=MF；
（3）ME=mMF
证明：过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，
在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°
∴∠EMF=∠B=90°，
又∵∠MHA=∠MGA=90°，
在四边形HMGA中，
∴∠HMG=90°，
∴∠EMF=∠HMG，
∴∠EMH=∠FMG．
∵∠MHE=∠MGF，
∴△MHE∽△MGF，
∴ ，
又∵M是矩形ABCD的对称中心，
∴M是矩形ABCD对角线的中点，
∴MG∥BC，∴MG= BC，
同理可得MH= AB，
∵AB=mBC
∴ME=mMF；
（4）平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，∠M=∠B，AB=MBD，
M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，AD交QM于E，则ME=mMF。