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如图:在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在下底边BC上,点F在腰AB上.①、则梯形的高是;②、若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为,试用含的代数式表示△BEF的
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如图:在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在下底边BC上,点F在腰AB上. ①、则梯形的高是 ; ②、若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为 ,试用含 的代数式表示△BEF的面积; ③、是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此BE的长;若不存在,请说明理由; ④、是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1︰2的两部分?若存在,求此时BE的长;若不存在,请说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
①4;② ;③存在,7;④存在, |
试题分析:①过点A作AH⊥BC于点H,根据等腰梯形的性质可求得BH的长,然后根据勾股定理求解即可; ②根据题意画出BE的高FM,然后,推出梯形周长的一半(即12),即可知BF=12x,通过求证△FBM∽△ABH,即可推出高FM关于x的表达式,最后根据三角形的面积公式,即可表示出△BEF的面积; ③通过计算等腰梯形的面积,即可推出其一半的值,然后结合结论(2)即可推出结论; ④首先提出假设成立,然后,分情况进行讨论,①若当BE+BF=8,△BEF的面积= ,根据题意列出方程,求出x;②若当BE+BF=16,△BEF的面积= 时,根据题意列出方程,求出x,最后即可确定假设不成立,即可推出结论. 试题解析:①过点A作AH⊥BC于点H ∵等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10, ∴BH=(BCAD)÷2=3, ∴ ,即梯形的高为4; ②过点F作FM⊥BC于点M ∵等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10, ∴等腰梯形ABCD的周长=24, ∵EF平分等腰梯形ABCD的周长, ∴BF+BE=12, ∵BE=x, ∴BF=12x, ∵FM∥AH, ∴△FBM∽△ABH, ∴BF:AB=FM:AH, ∴ , ∴ , ∴△BEF的面积 ; ③假设线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分. ∵等腰梯形ABCD中,AH=4,AD=4,BC=10, ∴等腰梯形ABCD面积的一半=4(4+10)÷2÷2=14, ∵当线段EF将等腰梯形ABCD的周长平分时,△BEF的面积关于x的函数表达式为 , ∴ , ∴整理方程得: , ∵ , 解方程得: , ∵当 时, , ∴ ,不符合题意,舍去, ∴当BE=7时,线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分; ④假设存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分. ∵等腰梯形ABCD的周长=24,等腰梯形ABCD的面积=28, 则①若当BE+BF=8,△BEF的面积= , ∵BE=x, ∴BF=8x, ∵FM∥AH, ∴△FBM∽△ABH, ∴BF:AB=FM:AH, ∴ , ∴ , ∴△BEF的面积 , 当 时, ∴ , 整理方程得: , ∵ ∴故方程无实数解, ∴此种情况不存在; ②若当BE+BF=16,△BEF的面积= 时, ∴ , ∴△BEF的面积 , ∴ , 整理方程得: , , 解方程得: , (舍去), ∴当 时,线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分. |
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