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如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,B(5,0),M为等腰梯形OBCD底边OB上一点,OD=BC=2,∠DMC=∠DOB=60度.(1)求点D,B所在直线的函数表达式;(2)求点M的坐标;(3)∠DMC绕点M顺时
题目详情
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,B(5,0),M为等腰梯形OBCD底边OB上一点,OD=BC=2,∠DMC=∠DOB=60度.
(1)求点D,B所在直线的函数表达式;
(2)求点M的坐标;
(3)∠DMC绕点M顺时针旋转α(0°<α<30°后,得到∠D1MC1(点D1,C1依次与点D,C对应),射线MD1交边DC于点E,射线MC1交边CB于点F,设DE=m,BF=n.求m与n的函数关系式.
(1)求点D,B所在直线的函数表达式;
(2)求点M的坐标;
(3)∠DMC绕点M顺时针旋转α(0°<α<30°后,得到∠D1MC1(点D1,C1依次与点D,C对应),射线MD1交边DC于点E,射线MC1交边CB于点F,设DE=m,BF=n.求m与n的函数关系式.
▼优质解答
答案和解析
(1)过点D作DA⊥OB,垂足为A.
在Rt△ODA中,∠DAO=90°,∠DOB=60°,
∴DA=OD•sin∠DOB=
,
OA=OD•cos∠DOB=1,
∴点D的坐标为(1,
),
设直线DB的函数表达式为y=kx+b,
由B(5,0),D(1,
),得
,
解得
,
∴直线DB的函数表达式为y=-
x+
;
(2)∵∠DMC=∠DOB=60°,
∴∠ODM+∠DMO=120°,∠DMO+∠CMB=120°,
∴∠ODM=∠CMB,
∵等腰梯形OBCD的∠DOB=∠CBO,
∴△ODM∽△BMC,
∴
=
=
,
∴OD•BC=BM•OM,
∵B点为(5,0),
∴OB=5.
设OM=x,则BM=5-x
∵OD=BC=2,
∴2×2=x(5-x),
解得x1=1,x2=4,
∴M点坐标为(1,0)或(4,0);
(3)①当M点坐标为(1,0)时,如图1,
OM=1,BM=4.
∵DC∥OB,
∴∠MDE=∠DMO,
又∵∠DMO=∠MCB,
∴∠MDE=∠MCB,
∵∠DME=∠CMF=α,
∴△DME∽△CMF,
∴
=
=
=
=
,
∴CF=2DE,
∵CF=2-n,DE=m,
∴2-n=2m,即m=1-
;
②当M点坐标为(4,0)时,如图2
OM=4,BM=1.
同(Ⅰ),可得△DME∽△CMF,
∴
=
=
=
=2,
∴DE=2CF,
∵CF=2-n,DE=m,
∴m=2(2-n),即m=4-2n.
综上所述,m与n的函数关系式为:m=1-
或m=4-2n.
在Rt△ODA中,∠DAO=90°,∠DOB=60°,
∴DA=OD•sin∠DOB=
3 |
OA=OD•cos∠DOB=1,
∴点D的坐标为(1,
3 |
设直线DB的函数表达式为y=kx+b,
由B(5,0),D(1,
3 |
|
解得
|
∴直线DB的函数表达式为y=-
| ||
4 |
5 |
4 |
3 |
(2)∵∠DMC=∠DOB=60°,
∴∠ODM+∠DMO=120°,∠DMO+∠CMB=120°,
∴∠ODM=∠CMB,
∵等腰梯形OBCD的∠DOB=∠CBO,
∴△ODM∽△BMC,
∴
OD |
BM |
OM |
BC |
DM |
MC |
∴OD•BC=BM•OM,
∵B点为(5,0),
∴OB=5.
设OM=x,则BM=5-x
∵OD=BC=2,
∴2×2=x(5-x),
解得x1=1,x2=4,
∴M点坐标为(1,0)或(4,0);
(3)①当M点坐标为(1,0)时,如图1,
OM=1,BM=4.
∵DC∥OB,
∴∠MDE=∠DMO,
又∵∠DMO=∠MCB,
∴∠MDE=∠MCB,
∵∠DME=∠CMF=α,
∴△DME∽△CMF,
∴
DE |
CF |
DM |
CM |
OD |
BM |
2 |
4 |
1 |
2 |
∴CF=2DE,
∵CF=2-n,DE=m,
∴2-n=2m,即m=1-
n |
2 |
②当M点坐标为(4,0)时,如图2
OM=4,BM=1.
同(Ⅰ),可得△DME∽△CMF,
∴
DE |
CF |
DM |
CM |
OD |
BM |
2 |
1 |
∴DE=2CF,
∵CF=2-n,DE=m,
∴m=2(2-n),即m=4-2n.
综上所述,m与n的函数关系式为:m=1-
n |
2 |
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