已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若恰好将线段AB三等分，则=

Question

已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点， 的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若 恰好将线段AB三等分，则 =                              

Answer 1

已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点， 的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若 恰好将线段AB三等分，则 =                              

由题意，C ₂ 的焦点为（±  ，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a
∴C ₁ 的半焦距c=  ，于是得a ² -b ² =5  ①
设C ₁ 与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：x2="a2b2" b2+4a2 ②，
由对称性知直线y=2x被C ₁ 截得的弦长=2  x，
由题得：2 x="2a/" 3 ，所以x="a" /3      ③
由②③得a ² =11b ²  ④
由①④得a ² =5.5，b ² =0.5