勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2

Question

勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段AB=1，点P₁是线段AB的黄金分割点（AP₁＜BP₁），点P₂是线段AP₁的黄金分割点（AP₂＜P₁P₂），点P₃是线段AP₂的黄金分割点（AP₃＜P₂P₃），…，依此类推，则AP_n的长度是________．

Answer 1

（）ⁿ
∵线段AB=1，点P₁是线段AB的黄金分割点（AP₁＜BP₁），
∴BP₁=AB=，
∴AP₁=1-=，
∵点P₂是线段AP₁的黄金分割点（AP₂＜P₁P₂），
∴AP₂=×=（）²，
∴AP₃=（）³，
∴AP_n=（）ⁿ．
故答案为（）ⁿ．