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点M是Rt△ABC的斜边AB的中点,过M做MD⊥AB于M,并交AC于D,交BC的延长线于点E,求证：MC是MD,ME的比例中项
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点M是Rt△ABC的斜边AB的中点,过M做MD⊥AB于M,并交AC于D,交BC的延长线于点E,求证：MC是MD,ME的比例中项
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答案和解析
依题意EM⊥AB,AC⊥BE
MC=MA,则∠MAC=∠MCA,∠MAC+∠B=90°,∠MEC+∠B=90°,∴∠MCD=∠MEC
∴∠CDM=∠CED+∠ECD=ECM
则△DCM∽△CEM,
∴MD/MC=MC/ME,即MC^2=MD•ME
MC=MA,则∠MAC=∠MCA,∠MAC+∠B=90°,∠MEC+∠B=90°,∴∠MCD=∠MEC
∴∠CDM=∠CED+∠ECD=ECM
则△DCM∽△CEM,
∴MD/MC=MC/ME,即MC^2=MD•ME
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