已知a／b=c/d,求证:ab+cd是a+c和b+d的比例中项.

Question

已知a／b=c/d,求证:ab+cd是a+c和b+d的比例中项.

Answer 1

证明：
(ab+cd)^2
=a^2b^2+2abcd+c^2d^2 (1)
∵a/b=c/d
∴ad=bc (2)
把（2）代人（1）得：
=a^2b^2+2ad*bc+c^2d^2
=a^2b^2+2a^2d^2+c^2d^2
=a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2
=((a^2+c^2)(b^2+d^2)
∴（ab+cd)^2=(a^2+c^2)(b^2+d^2)
∴ab+cd是a^2+c^2和b^2+d^2的比例中项