设总体X方差σ2有限且不为0，X1，X2，…，Xm+n（n＞m）为取自X的样本容量为m+n的样本．Y=ni＝1Xi，Z=nk＝1Xm+k，求：（Ⅰ）D（Y），D（Z）；（Ⅱ）Y与Z的相关系数．

Question

设总体X方差σ²有限且不为0，X₁，X₂，…，X_m+n（n＞m）为取自X的样本容量为m+n的样本．Y=

n

i＝1

Xi，Z=

n

k＝1

Xm+k，求：
（Ⅰ）D（Y），D（Z）；                  
（Ⅱ）Y与Z的相关系数．

Answer 1

（Ⅰ）由已知，DXi＝σ2，因此
DY＝

n

i＝1

DXi＝nσ2
DZ＝

n

k＝1

DXm+k＝nσ2
（Ⅱ）由于n＞m
不妨设：n=m+t
∴YZ=

n

i＝1

Xi

n

k＝1

Xm+k=(

m

i＝1

Xi+

n

i＝m+1

Xi)(

t

k＝1

Xm+k+

n

k＝t+1

Xm+k)
=(

m

i＝1

Xi+

t

k＝1

Xm+k)(

t

k＝1

Xm+k+

n

k＝t+1

Xm+k)
=

m

i＝1

Xi(

t

k＝1

Xm+k+

n

k＝t+1

Xm+k)+(

t

k＝1

Xm+k)2+

t

k＝1

Xm+k

n

k＝t+1

Xm+k
设EX_i=μ，
由DXi＝σ2，知EXi2＝DXi+(EXi)2＝μ2+σ2
∴EYZ＝

t

k＝1

EXm+k2+(n2−t)μ2=t（μ²+σ²）+（n²-t）μ²=tσ²+n²μ²
而EYEZ=n²μ²
∴Cov（Y，Z）=tσ²
∴ρYZ＝(Cov(Y，Z))/(√(DY)√(DZ))＝(t)/(n)＝1−(m)/(n)