阅读理解如图（1），在正多边形A1A2A3…An的边A2A3上任取一不与点A2重合的点B2，并以线段A1B2为边在线段A1A2的上方作以正多边形A1B2B3…Bn，把正多边形A1B2B3…Bn叫正多边形A1A2…An的准位似图形

Question

阅读理解
如图（1），在正多边形A₁A₂A₃…A_n的边A₂A₃上任取一不与点A₂重合的点B₂，并以线段A₁B₂为边在线段A₁A₂的上方作以正多边形A₁B₂B₃…B_n，把正多边形A₁B₂B₃…B_n叫正多边形A₁A₂…A_n的准位似图形，点A₃称为准位似中心．
特例论证
（1）如图（2）已知正三角形A₁A₂A₃的准位似图形为正三角形A₁B₂B₃，试证明：随着点B₂的运动，∠B₃A₃A₁的大小始终不变．
数学思考
（2）如图（3）已知正方形A₁A₂A₃A₄的准位似图形为正方形A₁B₂B₃B₄，随着点B₂的运动，∠B₃A₃A₄的大小始终不变？若不变，请求出∠B₃A₃A₄的大小；若改变，请说明理由．
归纳猜想
（3）在图（1）的情况下：
①试猜想∠B₃A₃A₄的大小是否会发生改变？若不改变，请用含n的代数式表示出∠B₃A₃A₄的大小（直接写出结果）；若改变，请说明理由．
①∠B₃A₃A₄+∠B₄A₄A₅+∠B₅A₅A₆+…+∠B_nA_nA₁=___（用含n的代数式表示）

Answer 1

（1）证明：∵△A₁A₂A₃与△A₁B₂B₃是正三角形，
∴A₁A₂=A₁A₃，A₁B₂=A₁B₃，∠A₂A₁A₃=∠B₂A₁B₃=60°，
∴∠A₂A₁B₂=∠A₃A₁B₃，
∴△A₂A₁B₂≌△A₃A₁B₃，
∴∠B₃A₃A₁=∠A₂=60°，
∴∠B₃A₃A₁的大小不变；

（2）∠B₃A₃A₄的大小不变，
理由：如图，在边A₁A₂上取一点D，使A₁D=A₃B₂，连接B₂D，
∵四边形A₁A₂A₃A₄与A₁B₂B₃B₄是正方形，
∴A₁B₂=B₂B₃，∠A₁B₂B₃=∠A₁A₂A₃=90°，
∴∠A₃B₂B₃+∠A₁B₂A₂=90°，∠A₂A₁B₂+∠A₁B₂A₂=90°，
∴∠A₃B₂B₃=∠A₂A₁B₂，
∴△A₃B₂B₃≌△DA₁B₂，
∴∠B₂A₃B₃=∠A₁DB₂，
∵A₁A₂=A₂A₃，A₁D=A₃B₂，
∴A₂B₂=A₂D，
∵∠A₁A₂A₃=90°，
∴△DA₂B₂是等腰直角三角形，
∴∠A₁DB₂=135°，
∴∠B₂A₃B₃=135°，
∵∠A₄A₃A₂=90°，
∴∠B₃A₃A₄=45°，
即：∠B₃A₃A₄的大小始终不变；

（3）①∠B₃A₃B₄的大小始终不变，理由：如图1，
在A₁A₂上取一点D，使A₁D=A₃B₂，
连接B₂D，
∵∠A₂A₁B₂=180°-∠A₁B₂A₂，∠A₃B₂B₃=180°-∠A₁B₂A₂，
∴∠A₂A₁B₂=∠A₃B₂B₃，
∵A₁B₂=B₂B₃，
∴△A₃B₂B₃≌△DA₁B₂，
∴∠B₂A₃B₃=A₁DB₂，
∵A₁A₂=A₂A₃，A₁D=A₃B₂，
∴A₂D=A₂B₂，
∴∠A₁DB₂=(1)/(2)（180°-∠A₁A₂B₂）=90°-(1)/(2)×(180°(n-2))/(n)=90°-(90°(n-2))/(n)
∴∠B₃A₃A₄=∠A₁DB₂-∠B₂A₃A₄=90°-(90°(n-2))/(n)-(180°(n-2))/(n)=(180°)/(n)；
②由①知，∠B₃A₃A₄=(180°)/(2)，
同①的方法可得，∠B₄A₄A₅=(180°)/(n)×2，∠B₅A₅A₆=(180°)/(n)×3，…，∠B_nA_nA₁=(180°)/(n)×（n-2），
∴①∠B₃A₃A₄+∠B₄A₄A₅+∠B₅A₅A₆+…+∠B_nA_nA₁
=(180°)/(n)+(180°)/(n)×2+(180°)/(n)×3+…(180°)/(n)×（n-2）=(90°(n-1)(n-2))/(n)，
故答案为

作业帮用户 2018-01-05

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