已知曲线c:x=1+2cosαy=-2+3sinα过点p(-1,1）的直线l与c交于ab两点,设ab中点为q,求q轨迹的参数方程,并化为普通方程

Question

已知曲线c:x=1+2cosα y=-2+3sinα 过点p(-1,1）的直线l与c交于ab两点,设ab中点为q,求q轨迹的参数方程,并化为普通方程

Answer 1

普通方程好求,可以先求普通方程.
设中点Q(x,y).A(x1,y2),B(x2,y2)
则有x1+x2=2x,y1+y2=2y
可以先求出曲线C的普通方程为: (x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1
把A,B两点带入C的方程得到：
(x1-1)^2/4+(y1+2)^2/9=1
(x2-1)^2/4+(y2+2)^2/9=1
两式相减得到
(x1-x2)(x1+x2-2)/4+(y1-y2)(y1+y2+4)/9=0
把x1+x2=2x,y1+y2=2y带入后,经过变化得到:
(y1-y2)/(x1-x2)=(-9/4)(x-1)/(y+2)
因为KAB=(y1-y2)/(x1-x2)=(-9/4)(x-1)/(y+2)
且因为P,Q都在直线AB上,所以KAB=(y-1)/(x+1)
令两者相等,化简后得到:
9x^2+4(y+1/2)^2=12
这是一个平移后的椭圆,很容易得到参数方程x=(2/√3)cosθ,y=(-1/2)+√3sinθ