从一个正方体8个顶点选出2个点,共有多少条直线?从这些直线中任选2条,它们是异面直线的概率为多大

Question

从一个正方体8个顶点选出2个点,共有多少条直线?从这些直线中任选2条,它们是异面直线的概率为多大

Answer 1

1.共有28条直线.任选一个点后剩下的七个点都可以和它组成直线,8×7=56；但是每条直线都被重复数了两次（分别以两个点为任选的那个点）,所以56/2=28.
2.答案10/27
快速解法：
任选一条直线,可以数出和它异面的直线共有10条（也是画图来看）；
那么就是说,如果先选定1条直线作代表,剩下的27条直线里会有10条与它异面；
由于选中这27条中任意一条的概率都是相等的,所以异面的概率也就是10/27了.
标准解法：
28条直线选2条为一组的选法有378种（28×27/2＝378）；
异面直线组合方法：28条直线×对应的与之异面的10条（快速解法第一句）＝280；
一组两条直线,直线a直线b组合与直线b直线a组合实为一种,上面的280是组数的两倍,实际组数应为：280/2＝140
所以两直线是异面直线的概率为：140/378＝10/27
亏得楼上提示了 要不就错了 哈哈
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补充一下数异面直线的问题 不过没有图实在是相当的不方便
假设画了个正方体的图 将其中的一个面标记为ABCD 与它平行的那个面按点对应标记为EFGH （就是说AE、BF、CG、DH分别都是正方体的棱）
选择AE作为参考的直线 分别在正方体的楞、面和内部寻找异面直线
正方体的棱上与AE异面的直线有：BC、CD、HG、GF——4条
面ADHE和ABFE上没有与AE异面的直线,因为AE是属于这两个面的
面ABCD上：BD
面EFGH上：FH
面DCGH上：DG、HC
面BCGF上：FC、BG
面上共4条
内部共有4条直线：AG、EC、DF和BH,其中AG和EC与直线AE同属于面ACGE,所以它们不是异面直线,只有DF和BH与AE异面
内部共2条
加起来一共10条
这题真纠结 我都大改了两次了……