如图所示,将等边三角形ABC沿BC边中线AO翻折使二面角B-AO-C为直二面角,动点D为AB边上一角（1）求证：平面COD垂直平面AOB（2）当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值（3）求CD与平面AOB

Question

如图所示,将等边三角形ABC沿BC边中线AO翻折使二面角B-AO-C为直二面角,动点D为AB边上一角（1）求证：平面COD垂直平面AOB
（2）当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值
（3）求CD与平面AOB所成角的最大值的正切值

Answer 1

法一：以O为原点,由于B-AO-C为直二面角,可以使oc为x轴,ob为y轴,OA为z轴,树立空间直角坐标系,设AB=a,
法二
（1）证明,由于B-AO-C为直二面角,所以,OC⊥OB,又由于原△ABC为等边三角形,D又是BC的中点,所以,OC⊥AO,故,OC垂直立体AOB,OC∈立体COD,所以,立体COD垂直立体AOB
(2)取OB的中点E,衔接DE,由于,AO⊥OB,AO⊥OC,所以AO垂直立体BOC,又D是AB中点,E是OB中点,所以,DE∥AO,故,DE垂直立体BOC,那么,DE⊥CE,且AO与CD所成角就是DE与CD所成的角 tan∠CDE=CE/DE 设,原等边三角形的边长为a,那么,AO=√3a/2,DE=√3a/4 由于,CO=a/2,OE=a/4,故,CE=√5a/4 因而,tan∠CDE=(√5a/4)/(√3a/4)=√15/3
(3)衔接OD 由于,CO⊥OB,CO⊥AO,所以CO垂直立体AOB,故,CD与立体AOB所成角就是∠CDO tan∠CDO=CO/OD,要使tan∠CDO最大,由于CO为定值a/2,只需使OD最小当OD⊥AB时,OD最小,此时,AO*OB=AB*OD(三角形面积相等),那么,OD=√3a/4 因而,tan∠CDO=CO/OD=2√3/3 那么,CD与立体AOB所成角的最大值的正切值为2√3/3