已知矩形ABCD，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D’EC的位置，使二面角D'-EC-B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD’；（2）求二面角D'-BC-E的余弦值．

Question

已知矩形ABCD，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D’EC的位置，使二面角D'-EC-B是直二面角．
（1）证明：BE⊥CD’；
（2）求二面角D'-BC-E的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵AD=2AB=2，E是AD的中点，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，
又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC
∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．               
（2）如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．
则B(√(2)，0，0)，C(0，√(2)，0)，D′(0，(√(2))/(2)，(√(2))/(2))
设平面BEC的法向量为

.

n1

＝(0，0，1)；平面D'BC的法向量为

n

＝(x2，y2，z2)

BC

＝(−√(2)，

作业帮用户 2017-09-26

问题解析

（1）一般是通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明其中一条直线与另一条直线所在的平面垂直．
（2）利用向量法求二面角的平面角，建立空间直角坐标系利用向量的一个运算求出两个平面的法向量，进而求出二面角的余弦值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．

考点点评：

解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便于正确利用线面垂直与线面平行关系，并且利于建立坐标系利用向量法解决空间角与空间建立问题．

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