如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AB、BC的中点．（1）当点P在DD1上运动时，是否都有MN∥平面A1C1P？证明你的结论；（2）当点P在何位置时，二面角P-MN-B1为直二面角；（3）按图

Question

如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为AB、BC的中点．
（1）当点P在DD₁上运动时，是否都有MN∥平面A₁C₁P？证明你的结论；
（2）当点P在何位置时，二面角P-MN-B₁ 为直二面角；
（3）按图中示例，在给出的方格纸中，用事先再画出此正方体的4个形状不同的表面展开图，且每个展开提均满足条件“有四个正方形连成一个长方形”．（如果多画，则按前4个记分）

Answer 1

（1）当点P在DD₁上移动时，都有MN∥平面A₁C₁P   …（1分）
证明如下：
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=CC₁，AA₁∥CC₁
∴四边形AA₁C₁C是平行四边形，
∴AC∥A₁C₁
由（1）知MN∥AC，
∴MN∥A₁C₁
又∵MN⊄面A₁C₁P，A₁C₁⊂平面A₁C₁P，
∴MN∥平面A₁C₁P，…（4分）
（2）设DP=t，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则M（1，(1)/(2)，0），N（(1)/(2)，1，0），B₁（1，1，1），P（0，0，t），
∴

MN

=（-(1)/(2)，(1)/(2)，0），

MB1

=（0，(1)/(2)，1），

MP

=（-1，-(1)/(2)，t），
设平面MNB₁的法向量为

m

=（x，y，z），则

MN

•

m

＝0，

作业帮用户 2016-11-27

问题解析

（1）当点P在DD₁上移动时，都有MN∥平面A₁C₁P．由线面平行的判定定理证明即可
（2）设DP=t，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够推导出当DP＝(3)/(8)时，二面角P-MN-B₁ 为直二面角．
（3）由正方体12种展开图，选其中“1-4-1”的情况即可．

名师点评

本题考点：

直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

考点点评：

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．

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