（2006•南汇区二模）如图ABCD为正方形，EF∥AB，且DE：EA=3：4，EF交AC于Q，沿EF将正方形折成直二面角，（1）求AC与EF所成角的正切值；（2）求∠AQC的大小．

Question

（2006•南汇区二模）如图ABCD为正方形，EF∥AB，且DE：EA=3：4，EF交AC于Q，沿EF将正方形折成直二面角，
（1）求AC与EF所成角的正切值；
（2）求∠AQC的大小．

Answer 1

（12分）解法一：（1）不妨设CF=3，BF=4，则CB=5，EF=7，AC与EF所成的角即为∠CAB，易证△ABC为直角三角形，

∴tan∠CAB=(5)/(7)；…（6分）
（2）CQ=3√(2)，AQ=4√(2)，AC=√(74)，由余弦定理
cos∠AQC=(18+32−74)/(2•3√(2)•4√(2))＝−(1)/(2)，∴∠AQC=120°．…（12分）
解法二：（1）设正方形的边长为7．以E为原点，EF为x轴，以EA为y轴，ED为z轴建立空间直角坐标系，
则E（0，0，0），A（0，4，0），F（7，0，0），C（7，0，3），Q（4，0，0）．
则

AC

＝(7，−4，−3)，

EF

＝(7，0，0)，

QA

＝(−4，4，0)，

QC

＝(3，0，3)
设AC与EF所成角为θ，则cosθ＝(AC•EF)/(|AC|•|EF|)＝(7)/(√(74))
∴tanθ＝(5)/(7)…（6分）
（2）cos∠AQC＝(QA•QC)/(|QA•|QC||)＝−(1)/(2)
∴∠AQC=120°．…（12分）