（2014•广西模拟）如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上．（1）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；（2）当BDAB=15时，求二面角B-CD-B1的余弦值．

Question

（2014•广西模拟）如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在AB上．
（1）若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；
（2）当(BD)/(AB)=(1)/(5)时，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

Answer 1

（1）证明：连接BC₁，交B₁C于E，连接DE．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，D是AB中点
∴侧面BB₁C₁C为矩形，DE为△ABC₁的中位线
∴DE∥AC₁，
又∵DE⊂平面B₁CD，AC₁⊄平面B₁CD
∴AC₁∥平面B₁CD．
（2）∵AB=5，AC=4，BC=3，即AB²=AC²+BC²
∴AC⊥BC，所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则B （3，0，0），A （0，4，0），
A₁ （0，4，4），B₁ （3，0，4）．
设D （a，b，0）（a＞0，b＞0），
∵点D在线段AB上，且(BD)/(AB)=(1)/(5)，即

BD

=(1)/(5)

BA

∴a=(12)/(5)，b=(4)/(5) （7分）
∴

B1C

=（-3，0，-4），

CD

=（(12)/(5)，(4)/(5)，0）
显然

CC1

=（0，0，4）是平面BCD的一个法向量
设平面B₁CD的法向量为

作业帮用户 2017-10-19

问题解析

（1）通过作平行线，由线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

考点点评：

本题考查线面平行的判定及二面角的求法．求二面角的方法：法一、作二面角的平面角--证明符合定义--解三角形求解；
法二、向量法，求得两平面的法向量，根据cos＜

m

，

n

＞=(m•n)/(|m||n|)求解．

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