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(2014•广西模拟)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点D在AB上.(1)若D是AB中点,求证:AC1∥平面B1CD;(2)当BDAB=15时,求二面角B-CD-B1的余弦值.
题目详情
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/14ce36d3d539b600746d3005ea50352ac75cb7e4.jpg)
(1)若D是AB中点,求证:AC1∥平面B1CD;
(2)当
BD |
AB |
1 |
5 |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接BC1,交B1C于E,连接DE.
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,D是AB中点
∴侧面BB1C1C为矩形,DE为△ABC1的中位线
∴DE∥AC1,
又∵DE⊂平面B1CD,AC1⊄平面B1CD
∴AC1∥平面B1CD.
(2)∵AB=5,AC=4,BC=3,即AB2=AC2+BC2
∴AC⊥BC,所以如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则B (3,0,0),A (0,4,0),
A1 (0,4,4),B1 (3,0,4).
设D (a,b,0)(a>0,b>0),
∵点D在线段AB上,且
=
,即
=
∴a=
,b=
(7分)
∴
=(-3,0,-4),
=(
,
,0)
显然
=(0,0,4)是平面BCD的一个法向量
设平面B1CD的法向量为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b3fb43166d224f4a0c274ca10af790529922d1c1.jpg)
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,D是AB中点
∴侧面BB1C1C为矩形,DE为△ABC1的中位线
∴DE∥AC1,
又∵DE⊂平面B1CD,AC1⊄平面B1CD
∴AC1∥平面B1CD.
(2)∵AB=5,AC=4,BC=3,即AB2=AC2+BC2
∴AC⊥BC,所以如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则B (3,0,0),A (0,4,0),
A1 (0,4,4),B1 (3,0,4).
设D (a,b,0)(a>0,b>0),
∵点D在线段AB上,且
BD |
AB |
1 |
5 |
BD |
1 |
5 |
BA |
∴a=
12 |
5 |
4 |
5 |
∴
B1C |
CD |
12 |
5 |
4 |
5 |
显然
CC1 |
设平面B1CD的法向量为
作业帮用户
2017-10-19
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