（2014•吉林二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．（Ⅰ）求证：CD=C1D；（Ⅱ）求二面角A1-B1D-P的平面角

Question

（2014•吉林二模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=√(2)，AB=AC=AA₁=1，D是棱CC₁上的一点，P是AD的延长线与A₁C₁的延长线的交点，且PB₁∥平面BDA₁．
（Ⅰ）求证：CD=C₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-B₁D-P的平面角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接B₁A交BA₁于O，
∵PB₁∥平面BDA₁，B₁P⊂面AB₁P，面AB₁P∩面BA₁D=OD，…（2分）
∴B₁P∥OD，又O为B₁A的中点，
∴D为AP中点，∴C₁为A₁P中点，…（3分）
∴△ACD≌△PC₁D，∴CD=C₁D．…（4分）
（Ⅱ）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC＝√(2)，AB＝AC＝1，
∴AB⊥AC，…（5分）
以A₁为坐标原点，以A₁B₁，A₁C₁A₁A所在直线建立空间直角坐标系如图所示．
由（Ⅰ）知C₁为A₁P中点，
∴A₁（0，0，0），B₁（1，0，0），D(0，1，(1)/(2))，P（0，2，0），…（6分）
∴

A1B1

＝(1，0，0)，

A1D

=（0，1，(1)/(2)），
设平面A₁B₁D的法向量

m

＝(x，y，z)
∵

m

⊥

A1B1

且

作业帮用户 2016-12-13

问题解析

（Ⅰ）连接B₁A交BA₁于O，由已知条件推导出△ACD≌△PC₁D，由此能够证明CD=C₁D；
（Ⅱ）以A₁为坐标原点，以A₁B₁，A₁C₁A₁A所在直线建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角A₁-B₁D-P的正弦值．

名师点评

本题考点：

与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评：

本题考查线段相等的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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