如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．（1）求异面直线CC1和AB的距离；（2）若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-B1的平面角的余弦值。

Question

如图，在直三棱柱ABC-A ₁ B ₁ C ₁ 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．

（1）求异面直线CC ₁ 和AB的距离；
（2）若AB ₁ ⊥A ₁ C，求二面角A ₁ -CD-B ₁ 的平面角的余弦值。

Answer 1

（1）因为AC=BC，D为AB的中点，
故CD⊥AB，
又直三棱柱中，CC ₁ ⊥面ABC，故CC ₁ ⊥CD，
所以异面直线CC ₁ 和AB的距离为：CD= = 。
（2）由CD⊥AB，CD⊥BB ₁ ，
故CD⊥平面A ₁ ABB ₁ ，
从而CD⊥DA ₁ ，CD⊥DB ₁ ，
故∠A ₁ DB ₁ 为所求的二面角A ₁ -CD-B ₁ 的平面角
因A ₁ D是A ₁ C在面A ₁ ABB ₁ 上的射影，
又已知AB ₁ ⊥A ₁ C，
由三垂线定理的逆定理得AB ₁ ⊥A ₁ D，从而∠A ₁ AB ₁ ，∠A ₁ DA都与∠B ₁ AB互余，
因此∠A ₁ AB ₁ =∠A ₁ DA，
所以RT△A ₁ AD∽RT△B ₁ A ₁ A，因此 = ，
得 =AD·A ₁ B ₁ =8，
从而A ₁ D= =2 ，B ₁ D=A ₁ D=2
所以在三角形A ₁ DB ₁ 中，cos∠A ₁ DB ₁ = = 。