（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2.（I）证明：AB1⊥BC1；（II）求点B到平面AB1C1的距离；（III）求二面角C1—AB1—A1的大小．

Question

（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A ₁ B ₁ C ₁ 中，∠ACB=90°，AC=BC=CC ₁ =2.
（I）证明：AB ₁ ⊥BC ₁ ；
（II）求点B到平面AB ₁ C ₁ 的距离；
（III）求二面角C ₁ —AB ₁ —A ₁ 的大小．

Answer 1

（I）证明见解析
（II）
（III）

（法一）
（1）证：连B ₁ C      ∵平面ABC⊥平面BCC ₁ B ₁
又AC⊥BC  ∴AC⊥面BCC ₁ B ₁   ∴B ₁ C为AB ₁ 在面BCC ₁ B ₁ 内的射影
又BC=BB ₁ ="2"   ∴四边形BCC ₁ B ₁ 为正方形
∴B ₁ C ⊥ BC ₁    ∴AB ₁ ⊥ BC ₁    …………………… _{w.@w.w.k.&s.5*u.c.o~m} ……………………………4分
（2）∵BC∥B ₁ C ₁  
 ∴C到面AB ₁ C ₁ 的距离即为B到面AB ₁ C ₁ 的距离
∵平面A ₁ B ₁ C ₁ ⊥平面ACC ₁ A ₁
又B ₁ C ₁ ⊥A ₁ C ₁  ∴B ₁ C ₁ ⊥平面ACC ₁ A ₁ ∴平面AB ₁ C ₁ ⊥平面ACC ₁ A ₁
连A ₁ C∩AC ₁ ="O"
∵四边形ACC ₁ A ₁ 为正方形  ∴CO⊥面AB ₁ C ₁
∴CO即为所求 ∴CO=  ∴B到面AB ₁ C ₁ 的距离为  ………………………8分
（3）由（2）得 A ₁ O⊥面AB ₁ C ₁  
过O做OE⊥AB ₁ 于E 连A ₁ E   由三垂线定理有A ₁ E⊥AB ₁
∴∠A ₁ EO为二面角C ₁ -AB ₁ -A ₁ 的平面角
又在Rt⊿A ₁ OE中，A ₁ O=    OE=  
∴tan∠A ₁ EO=      ∴∠A ₁ EO=
∴二面角C ₁ -AB ₁ -A ₁ 的大小为        …………………………………………12分
（法二）（1）建立直角坐标系，其中C为坐标原点.
依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B ₁ （0，2，2），[来源:学科网]
C ₁ （0，0，2），因为 ，所以A B ₁ ⊥BC ₁ . ……………4分 
（2）设 是平面AB ₁ C ₁ 的法向量，
由 得
所以 令 ，则 ，
因为 ，所以，B到平面AB ₁ C ₁ 的距离为 .… _{w.@w.w.k.&s.5*u.c.o~m} …………8分
（3）设 是平面A ₁ AB ₁ 的法向量.由
 令 =1，
则
因为 所以，二面角C ₁ —AB ₁ —A ₁ 的大小为60°… 12分