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(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=2.(I)证明:AB1⊥BC1;(II)求点B到平面AB1C1的距离;(III)求二面角C1—AB1—A1的大小.
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(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中,∠ACB=90°,AC=BC=CC 1 =2. (I)证明:AB 1 ⊥BC 1 ; (II)求点B到平面AB 1 C 1 的距离; (III)求二面角C 1 —AB 1 —A 1 的大小. |
▼优质解答
答案和解析
(I)证明见解析 (II) (III) |
(法一) (1)证:连B 1 C ∵平面ABC⊥平面BCC 1 B 1 又AC⊥BC ∴AC⊥面BCC 1 B 1 ∴B 1 C为AB 1 在面BCC 1 B 1 内的射影 又BC=BB 1 ="2" ∴四边形BCC 1 B 1 为正方形 ∴B 1 C ⊥ BC 1 ∴AB 1 ⊥ BC 1 …………………… w.@w.w.k.&s.5*u.c.o~m ……………………………4分 (2)∵BC∥B 1 C 1 ∴C到面AB 1 C 1 的距离即为B到面AB 1 C 1 的距离 ∵平面A 1 B 1 C 1 ⊥平面ACC 1 A 1 又B 1 C 1 ⊥A 1 C 1 ∴B 1 C 1 ⊥平面ACC 1 A 1 ∴平面AB 1 C 1 ⊥平面ACC 1 A 1 连A 1 C∩AC 1 ="O" ∵四边形ACC 1 A 1 为正方形 ∴CO⊥面AB 1 C 1 ∴CO即为所求 ∴CO= ∴B到面AB 1 C 1 的距离为 ………………………8分 (3)由(2)得 A 1 O⊥面AB 1 C 1 过O做OE⊥AB 1 于E 连A 1 E 由三垂线定理有A 1 E⊥AB 1 ∴∠A 1 EO为二面角C 1 -AB 1 -A 1 的平面角 又在Rt⊿A 1 OE中,A 1 O= OE= ∴tan∠A 1 EO= ∴∠A 1 EO= ∴二面角C 1 -AB 1 -A 1 的大小为 …………………………………………12分 (法二)(1)建立直角坐标系,其中C为坐标原点. 依题意A(2,0,0),B(0,2,0),B 1 (0,2,2),[来源:学科网] C 1 (0,0,2),因为 ,所以A B 1 ⊥BC 1 . ……………4分 (2)设 是平面AB 1 C 1 的法向量, 由 得 所以 令 ,则 , 因为 ,所以,B到平面AB 1 C 1 的距离为 .… w.@w.w.k.&s.5*u.c.o~m …………8分 (3)设 是平面A 1 AB 1 的法向量.由 令 =1, 则 因为 所以,二面角C 1 —AB 1 —A 1 的大小为60°… 12分 |
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