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(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=2.(I)证明:AB1⊥BC1;(II)求点B到平面AB1C1的距离;(III)求二面角C1—AB1—A1的大小.

题目详情
(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中,∠ACB=90°,AC=BC=CC 1 =2.
(I)证明:AB 1 ⊥BC 1
(II)求点B到平面AB 1 C 1 的距离;
(III)求二面角C 1 —AB 1 —A 1 的大小.
▼优质解答
答案和解析
(I)证明见解析
(II)
(III)

(法一)
(1)证:连B 1 C      ∵平面ABC⊥平面BCC 1 B 1
又AC⊥BC  ∴AC⊥面BCC 1 B 1   ∴B 1 C为AB 1 在面BCC 1 B 1 内的射影
又BC=BB 1 ="2"   ∴四边形BCC 1 B 1 为正方形
∴B 1 C ⊥ BC 1    ∴AB 1 ⊥ BC 1    …………………… w.@w.w.k.&s.5*u.c.o~m ……………………………4分
(2)∵BC∥B 1 C 1  
 ∴C到面AB 1 C 1 的距离即为B到面AB 1 C 1 的距离
∵平面A 1 B 1 C 1 ⊥平面ACC 1 A 1
又B 1 C 1 ⊥A 1 C 1  ∴B 1 C 1 ⊥平面ACC 1 A 1 ∴平面AB 1 C 1 ⊥平面ACC 1 A 1
连A 1 C∩AC 1 ="O"
∵四边形ACC 1 A 1 为正方形  ∴CO⊥面AB 1 C 1
∴CO即为所求 ∴CO=  ∴B到面AB 1 C 1 的距离为  ………………………8分
(3)由(2)得 A 1 O⊥面AB 1 C 1  
过O做OE⊥AB 1 于E 连A 1 E   由三垂线定理有A 1 E⊥AB 1
∴∠A 1 EO为二面角C 1 -AB 1 -A 1 的平面角
又在Rt⊿A 1 OE中,A 1 O=    OE=  
∴tan∠A 1 EO=      ∴∠A 1 EO=
∴二面角C 1 -AB 1 -A 1 的大小为        …………………………………………12分
(法二)(1)建立直角坐标系,其中C为坐标原点.
依题意A(2,0,0),B(0,2,0),B 1 (0,2,2),[来源:学科网]
C 1 (0,0,2),因为 ,所以A B 1 ⊥BC 1 . ……………4分 
(2)设 是平面AB 1 C 1 的法向量,

所以 ,则
因为 ,所以,B到平面AB 1 C 1 的距离为 .… w.@w.w.k.&s.5*u.c.o~m …………8分
(3)设 是平面A 1 AB 1 的法向量.由
 令 =1,

因为 所以,二面角C 1 —AB 1 —A 1 的大小为60°… 12分