如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别是BC和CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4，∠BAC=90°．（1）求证：B1D⊥平面AED；（2）求二面角B1-AE-D的余弦值；（3）求三棱锥A-B1DE的体积．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是BC和CC₁的中点，已知AB=AC=AA₁=4，∠BAC=90°．
（1）求证：B₁D⊥平面AED；
（2）求二面角B₁-AE-D的余弦值；
（3）求三棱锥A-B₁DE的体积．

Answer 1

（1）证明：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，
AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得B₁（4，0，4），C（0，4，0），B（4，0，0），
D（2，2，0），A（0，0，0），E（0，4，2），

B1D

=（-2，2，-4），

AE

=（0，4，2），

AD

=（2，2，0），
设平面AED的法向量

n

=（x，y，z），
则

n

•

AE

＝4y+2z＝0

n

•

AD

＝2x+2y＝0

，取x=1，得

n

=（1，-1，2），
∴

B1D

∥

n

，∴B₁D⊥平面AED．
（2）

AB1

=（4，0，4），
设平面B₁AE的法向量

m

=（a，b，c），

m

•

AB1

＝4a+4c＝0

m

•

AE

＝4b+2c＝0

，取a=2，得

m

=（2，1，-2），
又平面AED的法向量

n

=（1，-1，2），
∴|cos＜

n

，

m

＞|=|(2−1−4)/(√(9)×√(6))|=(√(6))/(6)，
∴二面角B₁-AE-D的余弦值为(√(6))/(6)．
（3）∵B₁D⊥平面AED，
∴S△B1DE=(1)/(2)B1D×DE=(1)/(2)×√(16+4)×√(16+4)=10，
A到平面B₁DE的距离AD=(1)/(2)√(16+16)=2√(2)，
∴三棱锥A-B₁DE的体积：
V=(1)/(3)×S△B1DE×AD=(1)/(3)×10×2√(2)=(20√(2))/(3)．