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如图,ABCD和ABEF都是边长为1的正方形,AM=FN,现将两个正方形沿AB折成一个直二面角,O∈AB,平面MON∥平面CBE.(1)求角MON大小;(2)设AO=x,当x为何值时,三棱锥A-MON的体积V最大?并求出
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如图,ABCD和ABEF都是边长为1的正方形,AM=FN,现将两个正方形沿AB折成一个直二面角,O∈AB,平面MON∥平面CBE.
(1)求角MON大小;
(2)设AO=x,当x为何值时,三棱锥A-MON的体积V最大?并求出最大值.
(1)求角MON大小;
(2)设AO=x,当x为何值时,三棱锥A-MON的体积V最大?并求出最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵平面MON∥平面CBE
∴MO∥BC,ON∥BE
从而MO⊥AB,ON⊥AB
∴∠MON是二面角C-AB-E的平面角
∴∠MON=90°…6分;
(2)∵MO=AO=x,ON=1-x,AO⊥平面MON
∴V=
•
x•(1-x)•x=
(-x3+x2)(0<x<1)…4分
则V′=-
x(x-
)
∵0<x<
时,V′>0,
<x<1时,V′<0…2分
∴当x=
时,V取得极大值,极大值为
即当x=
时,V有最大值为
…2分
∴MO∥BC,ON∥BE
从而MO⊥AB,ON⊥AB
∴∠MON是二面角C-AB-E的平面角
∴∠MON=90°…6分;
(2)∵MO=AO=x,ON=1-x,AO⊥平面MON
∴V=
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
6 |
则V′=-
1 |
2 |
2 |
3 |
∵0<x<
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3 |
2 |
3 |
∴当x=
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3 |
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即当x=
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3 |
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