如图所示，L1、L2为两平行的直线，间距为d．，L1下方和，L2上方的空间有垂直于纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度均为B．现有一质量为m、电荷量为+q的粒子，以速度v从L1上的M点射人两线

Question

如图所示，L₁、L₂为两平行的直线，间距为d．，L₁下方和，L₂上方的空间有垂直于纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度均为
B．现有一质量为m、电荷量为+q的粒子，以速度v从L₁上的M点射人两线之间的真空区域，速度方向与L₁成θ=30°角．不计粒子所受的重力：
（1）求粒子从M点出发后，经过多长时间第一次回到直线L₂上？
（2）试证明：改变粒子的速度大小，发现无论入射速度v多大（远小于光速），粒子从M点出发后第二次回到L₁上时，必经过同一点，并求出此点距M点的距离．
（3）求v满足什么条件时，粒子恰好能回到M点？

Answer 1

（1）粒子在无磁场区域做匀速直线运动的时间
t＝(d)/(vsin30°)＝(2d)/(v)    ①
（2）粒子在L₂上方的轨迹和L₁下方的轨迹构成一个完整的圆周，由图中

几何关系可知，无论速度多大，均有△MPN是等腰三角形，其中：
∠PMN=∠PNM=30°
粒子第2次经过L₁时离M点的距离为：
MN=2dcot30°=2√(3)d
这个结果与v的大小无关，所以无论入射速度v多大（远小于光速），粒子从M点出发后第2次回到L₁上时必经过同一点．
（3）由右图

几何关系可知，粒子在磁场中的轨道半径正好等于弦长．要使粒子在L₂上方的磁场中经过n次偏转能回到M点，粒子在磁场中的轨道半径必须满足：
R=n•2dcot30°（n=1，2，3…）    ②
根据洛伦兹力提供圆周运动向心力有：
qvB=m(v2)/(R)       ③
由②和③可得v＝(2√(3)nqdB)/(m)(n＝1，2，3…)
答：（1）运动时间为(2d)/(v)
（2）MN点距离为2√(3)d
（3）速度v满足v＝(2√(3)nqdB)/(m)(n＝1，2，3…)