向量在平面几何的应用如果在平面几何中使用向量,可惜中考不让用,现在读高中了,希望介绍一下向量在平面几何中的通常应用

Question

向量在平面几何的应用
如果在平面几何中使用向量,可惜中考不让用,现在读高中了,希望介绍一下向量在平面几何中的通常应用

Answer 1

研究性学习课题:向量在物理中的应用 向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻. 下面,我们以生活中的几个小事例为例,探究下向量在物理中的运用.事例一：某人骑车以akm／h的速度向东行驶,感到风是从正北方向吹来；而当速度为2akm／h时,感到风是从东北方向吹来,试求实际的风速和风向.分析探究：此题之关键在于,当无风时以a速度行驶,则感到的风速为－a,因此问题转化为合速度的研究问题.?设此人行驶的速度为a,则｜a｜＝a,且在无风时,此人感到的风速为－a,又设实际风速为v, 由题意知,此人所感到的从正北方向吹来的风速向量为v－a.?如图所示：?令 ＝－a, ＝－2a由于 ＋ ＝ ,故PA＝v－a又 ＋ ＝ ,故PB＝v－2a,即为此人的速度是原来的2倍时所感到的风速,?由题意得,∠PBO＝45°,PA⊥BO,BA＝AO,从而△ABC为等腰三角形,∴PB＝PO,∠POA＝∠APO＝45°?∴PO＝ a,｜v｜＝ a(km／h)?我们可以得出实际吹来的风是风速为 a　km／h的西北风.事例二：一条小船要渡过一条两岸平行的小河,河的宽度d＝100 m,船速v1＝4 m／s,水流速度为v2＝8 m／s,试问当船头与岸的夹角θ为多大时,小船 行驶到对岸位移最小?分析探究：解好本题的关键是构造速度三角形,然后利用三角形知识加以解决.?设水流速度为： ＝v2.?以A为圆心,以船速v1的大小｜v1｜为半径作圆,则向量v1的终点在圆上,由向量加法的三角形法则可知,合速度v的起点在O点,终点在圆上一点B.?设小船行驶到对岸的位移为s,则在△ABC中,设∠BOA＝α易得?d＝｜s｜sinα,即｜s｜＝ 故要使｜s｜最小,须角α最大,由平面几何知识可知,当OB与圆相切时,角α最大,且sinα＝ ,α＝30°,故｜s｜＝ ＝200 m.?所以船应该逆水而上,且船头与河岸的夹角为60°时,小船行驶到对岸时位移最小.事例三：一条两岸为平行直线的小河,河宽60 m,水流速度为5　m／s,一小船欲从码头A处渡河过去,A处下游80m处的河床陡然降低形成瀑布,要保证小船不掉下瀑布,小船相对水的划行速度至少应多大?此时船的划行方向如何?分析探究：小船渡河过程中同时参与两种分运动,一是随水漂流运动,另一是相对水的划行速度.而小船实际划行速度是水流速度与小船相对于水的划行速度的合速度,代表三种速度的有向线段应构成一矢量三角形.?由三角形知识可知：无论小船渡河的合速度方向偏向下游哪一方向,欲使小船划行速度最小,划行方向都应与合速度方向垂直.由图直观可看出,当合速度方向恰指向瀑布所在的对岸B点时,小船划行速度最小.?设A到瀑布的距离为s.?由图中的三角形相似有?v船／v水＝L／ 代入得：v船＝ v水＝3　m／s?与水流方向的夹角为180°－arccos ＝127°?分析总结：我们研究向量在物理学的应用时,用的是数学模型方法,就是把物理问题用数学语言加以抽象概括,再从数学角度来反映物理问题,得出关于物理问题的数学关系式,从而建立了相应的数学模型,它能清晰地反映相关物理量之间的数量关系. 这些关于物理问题的数学模型,可以是几何图形,方程式,函数解析式等等.再从数学角度对数学模型进行推理演算,得出物理问题的解答.