如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直线m滚动，当△ABC滚动一周时，到△DEF位置．设△ABC滚动240°时，点C的位置为C1，△ABC滚动480°时，点A的位置为点A1．根据三角函数正切的两角和公式tan(α+

Question

如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直线m滚动，当△ABC滚动一周时，到△DEF位置．设△ABC滚动240°时，点C的位置为C₁，△ABC滚动480°时，点A的位置为点A₁．根据三角函数正切的两角和公式tan(α+β)＝(tanα+tanβ)/(1−tanα•tanβ)，∠CAC₁+∠CAA₁的度数是3030°．

Answer 1

设△ABC滚动240°时，C点的位置为C₁，△ABC滚动480°时，A点的位置为A₁．
∵正△ABC的边长为2，
∴C₁H=MC1×tan60°=2×(3)/(2)=

3

即正△ABC的高为

3

，
MH=(1)/(2)MD=(1)/(2)×2=1，
∴tan∠CAC₁=(3)/(2+2+1)=(3)/(5)，
tan∠CAA₁=(3)/(4×2+1)=(3)/(9)，
∴由公式tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanα•tanβ)，
得：tan（∠CAC₁+∠CAA₁），
=(tan∠CAC1+tan∠CAA1)/(1−tan∠CAC1•tan∠CAA1)，
=（(3)/(5)+(3)/(9)）÷（1-(3)/(5)×(3)/(9)）
=(3)/(3)．
∴∠CAC₁+∠CAA₁=30°．
故答案为30°．