（2013•丽水一模）已知直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，AB＝12AA1＝4，CN=3AN，点M，P，Q分别是AA1，A1B1，BC的中点．（Ⅰ）求证：直线PQ∥平面BMN；（Ⅱ）求直线AB与平面BM

Question

（2013•丽水一模）已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，AB＝(1)/(2)AA1＝4，CN=3AN，点M，P，Q分别是AA₁，A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线PQ∥平面BMN；
（Ⅱ）求直线AB与平面BMC所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，
取AB中点G，连结PG，QG分别交BM，BN于点E，F，
则E，F分别为BM，BN的中点．
而GE∥(1)/(2)AM，GE＝(1)/(2)AM，GF∥(1)/(2)AN，GF＝(1)/(2)AN．
且CN=3AN，所以 (GE)/(EP)＝(1)/(3)，(GF)/(FQ)＝(AN)/(NC)＝(1)/(3)，
所以(GE)/(EP)＝(GF)/(FQ)＝(1)/(3)．
所以 EF∥PQ，又 EF⊂平面BMN，PQ⊄平面BMN．
所以 PQ∥平面BMN；
（Ⅱ）连接AQ，∵△ABC是等腰三角形，Q是BC的中点，∴AQ⊥BC，连接MQ，
作AO⊥MQ于O，连接BO，∵MA⊥平面ABC，∴MA⊥BC，
又AQ⊥BC，∴BC⊥平面AQM，∴BC⊥AO．
∵AO⊥MQ，∴AO⊥平面BCM，∴∠ABO就是AB与平面ABC所成在角．
在Rt△AQC中，∵∠QAC=60°，∴AQ=2．
在△RtAQM中，∵MQ=2√(5)，由AM•AQ=MQ•AO，得AO＝(AM•AQ)/(MQ)＝(4×2)/(2√(5))＝(4√(5))/(5)，
所以sin∠ABO＝(AO)/(AB)＝(√(5))/(5)．