已知方程x2+y2-2（t+3）x+2（1-4t2）y+16t4+9=0表示一个圆．（1）求t的取值范围；（2）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．

Question

已知方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0表示一个圆．
（1）求t的取值范围；
（2）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．

Answer 1

（1）∵已知方程表示一个圆，所以D²+E²-4F＞0，即4（t+3）²+4（1-4t²）²-4（16t⁴+9）＞0，整理得7t²-6t-1＜0，解得−(1)/(7)＜t＜1．
（2）r＝√(−7t2+6t+1)=√(−7(t−(3)/(7))2+(16)/(7))≤(4√(7))/(7)，当t=(3)/(7)时，r_max=(4√(7))/(7)．圆的标准方程为(x−(24)/(7))2+(y+(13)/(49))2＝(16)/(7)