y＝（3x+1）/（x+2）,为什么说x不等于-2与y不等于3是等价的?

Question

y＝（3x+1）/（x+2）,为什么说x不等于-2与y不等于3是等价的?

Answer 1

命题A与命题B等价就是说A、B两命题互为充分必要条件.在数学里,A、B两命题等价还可以表达为“A成立,当且仅当B成立”,或“B成立,当且仅当A成立”.
若A成立,则B成立,那么A是B的充分条件,B是A的必要条件.B是A的必要条件意味:若B不成立,则A一定不成立；B成立,A不一定成立.
如果A成立可推出B成立,同时由B成立可推出A成立,则A、B互为充分必要条件（充分必要条件常简称为充要条件）.若两命题互为充要条件,则称二者等价,也就意味着二者必同时成立,或同时不成立.一定程度上,等价命题可看成一事的两面.
以上是等价命题的概念,由此可知：证明两命题互为充要条件（等价）得分两步,第一步假设A成立推出B成立,第二步假设B成立推出A成立.第一步证明了A是B的充分条件和B是A的必要条件.第二步证明了B是A的充分条件和A是B的必要条件.两步合起来就是完整的证明.
对于这道题,就是证明“x不等于-2”和“y不等于3”等价.
第一步：
y=（3x+1）/（x+2）
=（3x+1+5-5）/（x+2）
=（3x+6）/（x+2）-5/(x+2)
=3-5/(x+2)
若x不等于-2,-5/(x+2)分子分母都不为0,故-5/(x+2)不为0,即y不等于3.
这就证明了“若‘x不等于-2’成立,则‘y不等于3’成立”.
第二步：
y=（3x+1）/（x+2）
yx+2y=3x+1
(3-y)x=2y-1
x=-(2y-1)/(y-3)
=-(2y-1-5+5)/(y-3)
=-(2y-6)/(y-3)-5/(y-3)
=-2-5/(y-3)
若y不等于3,则-5/(y-3)的分子分母都不为0,故-5/(y-3)不为0,即x不等于-2.
这就证明了“若‘y不等于3’成立,则‘x不等于-2’成立”.
综上,x不等于-2与y不等于3等价.