设A,B均为n阶方阵,证明下列命题等价.1.AB=BA2.(A±B)^2=A^2±2AB+B^23(A+B)(A-B)=A^2-B^2

Question

设A,B均为n阶方阵,证明下列命题等价.
1.AB=BA
2.(A ± B)^2 = A^2 ± 2AB + B^2
3(A+B)(A-B)= A^2 - B^2

Answer 1

显然
(A±B)^2=(A±B)(A±B)=A^2 ±AB ±BA +B^2,
而(A+B)(A-B)= A^2 -AB +BA -B^2,
若AB=BA,
则
(A±B)^2=A^2 ±AB ±BA +B^2=A^2 ±2AB +B^2,
而(A+B)(A-B)= A^2 -AB +BA -B^2=A^2 -B^2
同理,
如果是
(A±B)^2 = A^2 ± 2AB + B^2
或(A+B)(A-B)= A^2 - B^2 成立的话,
也可以推导出AB=BA
因此
这三个命题是等价的