如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABG，平面ADF，平面CDE都与平面ABCD垂直，且△ABG、△ADF、△CDE都是正三角形．（1）求证：AC∥FE；（2）求多面体ABCDEFG的体积．

Question

如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABG，平面ADF，平面CDE都与平面ABCD垂直，且△ABG、△ADF、△CDE都是正三角形．
（1）求证：AC∥FE；
（2）求多面体ABCDEFG的体积．

Answer 1

（1）证明：如图，分别取AD，CD的中点P，Q，连接FP，EQ，PQ
因为△ABG、△ADF、△CDE都是边长为2的正三角形
所以FP⊥AD，EQ⊥CD，且FP＝EQ＝√(3)
又因为平面ADF，平面CDE都与平面ABCD垂直
所以FP⊥平面ABCD，EQ⊥平面ABCD
所以FP∥EQ，且FP=EQ
所以四边形EQPF是平行四边形
所以EF∥PQ．
因为PQ是△ACD的中位线，所以PQ∥AC
所以EF∥AC；
（2）多面体ABCDEFG的体积可由棱柱ABG-DCE与四棱锥F-ADEG的体积相加得到，
所以VABCDEFG＝VABG−DCE+VF−ADEG＝2√(3)+(2√(3))/(3)＝(8√(3))/(3)．