（2014•宁德模拟）如图，正方形ABCD与正方形BDEF所在的平面互相垂直，AB=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．

Question

（2014•宁德模拟）如图，正方形ABCD与正方形BDEF所在的平面互相垂直，AB=1．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

（I）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD．…（2分）
∵平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF=BD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF．…（5分）
（II）设AC∩BD=O，
∵AB=1，四边形ABCD为正方形，
∴BD=√(2)，AO=(√(2))/(2)，S_BDEF=2．…（7分）
∵AC⊥平面BDEF，
∴OA为四棱锥A-BDEF的高
∴V_ABCDEF=V_A-BDEF+V_C-BDEF=2V_A-BDEF…（9分）
=2×(1)/(3)×2×(√(2))/(2)=(2√(2))/(3)．…（12分）
即多面体ABCDEF的体积为(2√(2))/(3)．