如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，点E、F分别是BB1、DD1的中点．（1）求证：平面AEC1F⊥平面ACC1A1；（2）求多面体AEC1FA1B1的体积．

Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为6，点E、F分别是BB₁、DD₁的中点．

（1）求证：平面AEC₁F⊥平面ACC₁A₁；
（2）求多面体AEC₁FA₁B₁的体积．

Answer 1

（1）证明：连接EF，BD，则
∵点E、F分别是BB₁、DD₁的中点，
∴AE=EC₁=C₁F=FA，
∴四边形AEC₁F为菱形，
∴EF⊥AC₁，
∵AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，
∵EF∥BD，
∴EF⊥AA₁，
∵EF⊥AC₁，EF⊥AA₁，AA₁∩AC₁=A，
∴EF⊥平面ACC₁A₁，
∵EF⊂平面AEC₁F，∴平面AEC₁F⊥平面ACC₁A₁；
（2） ∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为6，
∴VC1-AFA1=(1)/(3)×S△AFA1×6=36，
∵点E是BB₁的中点，BB₁=6，
∴B₁E=3，
∴SAEB1A1=(1)/(2)•(3+6)•6=27
∴VC1-AEB1A1=(1)/(3)•(1)/(2)•(3+6)•6•6=54，
∴多面体AEC₁FA₁B₁的体积=36+54=90．