已知扇形的圆心角为α,半径为R.若扇形的周长是一定值c（c>0),当α为多少弧度时,该扇形面积最大?

Question

已知扇形的圆心角为α,半径为R.
若扇形的周长是一定值c（c>0),当α为多少弧度时,该扇形面积最大?

Answer 1

假定角度α是以数值表示,而不是以度表示
周长c=2R+2πR*α/(2π)=2R+αR=(2+α)R,R=c/(2+α),α=c/R-2
面积S=πR²*α/(2π)=1/2R²(c/R-2)=1/2(cR-2R²)=1/2cR-R²
=c²/16-c²/16+1/2cR-R²
=c²/16-(c/4-R)²
当R=c/4时,S最大=c²/16
此时 α=c/R-2=c/(c/4)-2=4-2=2