变限积分可导,导函数一定连续吗？

Question

变限积分可导,导函数一定连续吗？

Answer 1

1、对变限积分求导 differentiation under integral sign，
结果一定是连续函数，而不可能是震荡型的函数。
2、因为积分时，只要函数连续即可，无可导的要求；
连续函数的积分，根据定义，是无穷个无穷小的累积，
就不可能出现震荡，而必定连续。
3、反过来说，如果原先是震荡的函数，积分就发散；
对于不定积分，似乎跟奇点无关，如对tanx积分，
那这是表面上的无关，而在原理上、理论上，依然
必须在无奇点 singularity 的区间上积分。
4、积分一定要有一个限，或上限、或下限，是变量，
再求导是逆运算，是返回原来的函数，所以，
连续是必然的，震荡是不可能的。