高数的对数求导法完全不懂.最简单的y=x^x为什么可以变为lny=xlnx.为什么把y看为中间变量又可以得出1/y*y'=lnx+1

Question

高数的对数求导法完全不懂.最简单的y=x^x为什么可以变为ln y=x ln x.为什么把y看为中间变量又可以得出1/y*y'=ln x+1

Answer 1

学习高等数学,初等数学是基础,而初等数学中的函数知识,则是需要十分熟悉的,包括常用的幂函数,三角函数与反三角函数,指数函数与对数函数,以及双曲函数（指数函数的复合函数）.学习导数开始要先记住一些基本的导数公式（可以暂时不理解但是必须熟记）.
比如像本题,对函数y=y(x)=x^x,首先对两边取自然对数,有
lny=xlnx ,这个变换是初等数学的,进一步的,就是对数函数的求导公式的运用
若把lny用z表示,就是z=lny=xlnx；对对数函数z=lny,z'=(dz/dy)*(dy/dx),为什么在第一个括号后面再乘以第二个括号?因为第一个括号表示z对y的导数,而y并不是最基本的自变量x..
因此有z'=(1/y)*y'=y'/y
紧接着,照上述方式继续第二个括号中的运算：有y'/y=(xlnx)'=(dx/dx)*lnx+x*(lnx)'
dx/dx=1,（lnx)'=(1/x)*(dx/dx)=1/x,代入有：y'/y=1*lnx+x*(1/x)=lnx+1
目标是,求出y',所以在上述结果中解出y'=y*(lnx+1),但是这不是最终的结果,因为最终结果必须只包含基本自变量x,然后根据初始的函数表达式y=x^x代入即可：
y'=x^x*(1+lnx)