关于拉格朗日乘数法的求导部分为什么求偏导的时候把X、y、z都看作自变量,当给出附加条件的时候不就可以确定函数,从而有中间变量,然后通过复合关系图求导吗?比如：求表面积为a^2而体积

Question

关于拉格朗日乘数法的求导部分
为什么求偏导的时候把X、y、z都看作自变量,当给出附加条件的时候不就可以确定函数,从而有中间变量,然后通过复合关系图求导吗?
比如：
求表面积为a^2而体积为最大的长方体体积.
设长方体三棱长为x、y、z,则问题就是在条件
φ（x,y,z）=2xy+2yz+2xz-a^2=0
下求函数
V=xyz (x>0 y>0 z>0)
的最大值
做拉格朗日函数
L(x,y,z)=xyz+λ(2xy+2yz+2xz-a^2)
求其对x,y,z的偏导数,并使之为0得
yz+2λ(y+z)=0
……
这里V=XYZ 3元方程确定了2个自变量,那对X求偏导时应该有一个中间变量,怎么这里把xyz都当作自变量了?

Answer 1

在这里xyz都是自变量,
V=xyz就是一个多元函数,并不是方程,
x,y,z的变化都会使V发生变化
没错,xyz满足了条件
φ(x,y,z)=2xy+2yz+2xz-a^2=0
你当然可以把其中一个用另外两个来表示,
再带回到V=xyz中,
然后只求偏导两次就可以了,
但是不正是因为觉得这样做很麻烦才有了拉格朗日函数么?