求解y*y''+2*(y')^2=0关键是y的一阶导数是二次方

Question

求解y*y''+2*(y')^2=0 关键是y的一阶导数是二次方

Answer 1

本题是可降阶的微分方程里的第三个类型
设y'=p(y),则y''=p'*dy/dx=p'p,注意这里的p是y的函数
原方程化为：y*p'p+2p^2=0,则y*p'+2p=0,（注意p'=dp/dy)
分离变量：dp/p=-2dy/y,两边积分得：ln|p|=-2ln|y|+ln|C1|
整理得：p=C1/y^2,即dy/dx=C1/y^2,
再分离变量得：dy/y^2=C1dx,两边积分得：-1/y=C1x+C2
本题的解为：y=-1/(C1x+C2)
（注：由于分母中的两项均含有任意常数,因此前面的负号其实可以不要）