(1+x)^(1/n)=1+x/n,右边的近似结果比左边稍大.请问,这个近似值跟准确值之间的误差大概是多少,怎么估算或者计算?

Question

(1+x)^(1/n)=1+x/n,右边的近似结果比左边稍大.请问,这个近似值跟准确值之间的误差大概是多少,怎么估算或者计算?

Answer 1

用泰勒级数展开
(1+x)^(1/n)=1+x/n+((1-n)/2n^2)x^2……
第0阶是1
第1阶是x/n
第2阶是((1-n)/2n^2)x^2
第k阶是f(x)的k阶导数在x=0时的取值,乘以x^k,除以k!
这个近似只适用于x的绝对值<<1的情况,x的绝对值越大,越不准,误差大概就是第2阶的那个项,但是如果x接近甚至大于1,就完全不准了.