考研数学题双中值?设函数f(x)在0,1上连续,在（0,1）内可导,且f(0)=f(1),常数λ＞0,μ＞0.求证：在（0,1）内存在两点ζ与η,使得λf'(ζ)+μf'(η)=0主要是想问问辅助函数是怎么做的?答案说令k=λ/(λ

Question

考研数学题双中值?
设函数f(x)在【0,1】上连续,在（0,1）内可导,且f(0)=f(1),常数λ＞0,μ＞0.求证：在（0,1）内存在两点ζ与η,使得λf'(ζ)+μf'(η)=0
主要是想问问辅助函数是怎么做的?答案说令k=λ/(λ+μ) 则1－k=μ/（λ+μ）这是怎么来的?

Answer 1

额,湿弟,我也凑个热闹讨论一下吧.

思路一：

     遇见这个问题,若没有头绪,不妨使用逆推法.

     由题中条件和λf'(ζ)+μf'(η)=0可得：

                           f'(ζ)=-μ/λf'(η)

对此做一个变形 f'(ζ)=-μ（λ+μ）/λ（λ+μ）f'(η)

移项得            λ/（λ+μ）f'(ζ)   +μ/（λ+μ）f'(η)=0

令                 k=λ/(λ+μ)可知μ/（λ+μ）=1-k

即 上面的问题等价于求证    kf'(ζ)+（1-k）f'(η)=0

则可以构造函数 F(x)=kf(x),G(x)=(1-k)f(x)

有题中条件可知这两个函数都满足拉格朗日定理,从而由定理可知：

  在（0,1）内存在点ζ使得

                                     F'(ζ)=0,即kf'(ζ)=0

  在（0,1）内存在点η使得

                                     G‘(η)=0,即(1-k)f’(η)=0

从而可得.

思路二：

          看到题目后,直接构造函数（其实和上一种思路简直就一样）.

          构造函数 F(x)= λ/（λ+μ）f(x),

                         G(x)=μ/（λ+μ）f(x)

有题中条件可知这两个函数都满足拉格朗日定理,从而由定理可知：

  在（0,1）内存在点ζ使得

                                     F'(ζ)=0,即λ/（λ+μ）f'(ζ)=0

  在（0,1）内存在点η使得

                                    G‘(η)=0,即μ/（λ+μ）f’(η)=0

从而可得在（0,1）内存在两点ζ与η,使得

                                    λ/（λ+μ）f'(ζ)+μ/（λ+μ）f’(η)=0 消去1/（λ+μ）

               即得                 λf'(ζ)+μf'(η)=0

 嗯,可以看图：

是说在（0,1）内存在两点ζ与η,设两点对应曲线的斜率分别为k1,k2,则有：

                                    k1+nk2=0,即 k1=-nk2   是这个意思.

这是从几何意义上看的.

      第二种,若是熟练的话,应该可以比较快的搞出来的,不用怎么费劲,关键从问题出发,同时注意充分利用题目给出的条件.

       我前面证明的我觉着将几何意义体现的并不明显,也不知道答案是咋整滴.

      一年多没碰课本,没再搭理这些东西了,也不清楚我说的这些是否有用,不知所云.在此,祝考研成功!~~