设f（x）在区间[0，1]上可微，且当x∈[0，1）时有f（x）＞f（1）＞0，f′（x）≠f（x）．证明：有且仅有一个ξ∈（0，1）使f（ξ）=∫ξ0f（t）dt．

Question

设f（x）在区间[0，1]上可微，且当x∈[0，1）时有f（x）＞f（1）＞0，f′（x）≠f（x）．证明：有且仅有一个ξ∈（0，1）使f（ξ）=

∫

ξ 0

f（t）dt．

Answer 1

引入辅助函数 F(x)＝f(x)−

∫

x 0

f(t)dt，则F（x）在闭区间[0，1]上连续可微．
当x∈[0，1）时，有f（x）＞f（1）＞0，
故 F(1)＝f(1)−

∫

1 0

f(t)dt=

∫

1 0

(f(1)−f(t))dt＜0．
又因为F（0）=f（0）＞0，
故由零点定理可得，存在一个ξ∈（0，1）使得F（ξ）=0，即f(ξ)＝

∫

ξ 0

f(t)dt．
再证唯一性．
若另有η∈（0，1）使得f(η)＝

∫

η 0

f(t)dt，
则F（η）=0，
由Rolle定理可得，存在ζ∈（0，1）使F′（ζ）=0．
这与F′（x）=f′（x）-f（x）≠0矛盾，唯一性得证．