已知函数f（x）=（ax-x2）ex．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（-1，1]上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）函数f（x）是否可为R上的单调函数？若是，求出a的

Question

已知函数f（x）=（ax-x²）e^x．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（-1，1]上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）函数f（x）是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=（2x-x²）e^x．
f′（x）=（2-2x）e^x+（2x-x²）e^x，
=（2-x²）e^x，
令f′（x）≤0，2-x²≤0，解得：x≤-√(2)或x≥√(2)，
所以单调f（x）的单调递减区间为（-∞，-√(2)）和（√(2)，+∞），
（Ⅱ）函数f（x）在（-1，1]上单调递增，
所以f′（x）≥0，对于x∈（-1，1]都成立，
即f′（x）=[a+（a-2）x-x²]e^x≥0，对于x∈（-1，1]都成立，
故有a≥(x2+2x)/(x+1)=x+1-(1)/(x+1)，
令g（x）=x+1-(1)/(x+1)，则g′（x）=1+(1)/((x+1)2)>0，
故g（x）在（-1，1]上单调递增，g（x）_max=g（1）=(3)/(2)，
∴a的取值范围是[(3)/(2)，+∞）；
（Ⅲ）假设f（x）为R上单调函数，则为R上单调递增函数或R上单调递减函数，
①若函数f（x）为R上单调递增函数，则f′（x）≥0，对于x∈都成立，
即[a+（a-2）x-x²]e^x≥0恒成立．
由e^x>0，x²-（a-2）x-a≤0对于x∈R都恒成立，
由h（x）=x²-（a-2）x-a的开口向上的抛物线，
则h（x）≤0，不可能恒成立，
所以f（x）不可能为R上的单调增函数，
②若函数f（x）为R上单调递减函数，则f′（x）≤0，对于x∈都成立，
即[a+（a-2）x-x²]e^x≤0恒成立，
由e^x>0，x²-（a-2）x-a≥0对于x∈R都恒成立，
故由△=（a-2）²+4a≤0，整理得：a²+4≤0，显然不成立，
所以，f（x）不能为R上的单调递减函数，
综上，可知函数f（x）不可能为R上的单调函数．