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求∫[1+根号下1-x的平方]的-1次方的不定积分
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求∫[1+根号下1-x的平方]的-1次方的不定积分
▼优质解答
答案和解析
先分母有理化：
∫1/(1+√(1-x^2)dx=∫(1-√(1-x^2)/x^2dx=∫dx/x^2-∫√(1-x^2)/x^2dx
对第二个积分,由分部积分：
∫√(1-x^2)/x^2dx=∫√(1-x^2)d(1/x)=√(1-x^2)/x-∫(1/x)d√(1-x^2)=√(1-x^2)/xarcsinx+C
所以：∫1/(1+√(1-x^2)dx=-1/x+√(1-x^2)/x+arcsinx+C
∫1/(1+√(1-x^2)dx=∫(1-√(1-x^2)/x^2dx=∫dx/x^2-∫√(1-x^2)/x^2dx
对第二个积分,由分部积分：
∫√(1-x^2)/x^2dx=∫√(1-x^2)d(1/x)=√(1-x^2)/x-∫(1/x)d√(1-x^2)=√(1-x^2)/xarcsinx+C
所以：∫1/(1+√(1-x^2)dx=-1/x+√(1-x^2)/x+arcsinx+C
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