第一题∫(下限0,上限2)被积函数为x/√(1+x^2)第二题∫(下限0,上限a)被积函数为√(a^2-x^2)

Question

第一题 ∫(下限0,上限2)被积函数为x/√(1+x^2) 第二题 ∫(下限0,上限a)被积函数为√(a^2-x^2)

Answer 1

第一题：
∫(0,2) x/√(1 + x²) dx
= (1/2)∫(0,2) 1/√(1 + x²) d(x² + 1)
= (1/2) * 2√(1 + x²) |(0,2)
= √(1 + 4) - √(1 + 0)
= √5 - 1
第二题：
令x = a * sinθ,dx = a * cosθ dθ,a > 0
∫(0,a) √(a² - x²) dx
= ∫(0,π/2) √(a² - a²sin²θ) * (acosθ) dθ
= a²∫(0,π/2) cos²θ dθ
= (a²/2)∫(0,π/2) (1 + cos2θ) dθ
= (a²/2)[θ + (1/2)sin2θ] |(0,π/2)
= (a²/2)(π/2)
= πa²/4