f(a)=∫[pi/20]|cos(x+a)|dx求f(a)+f(a+pi/2)的值以及f(a)的最大最小值pi是圆周率,积分上限是pi/2,下限是0,被积函数是|cos(x+a)|1.求f(a)+f(a+pi/2)的值2.求f(a)的最大最小值ps:对这类函数变量是a,但是表示式

Question

f(a)=∫[pi/2 0] |cos(x+a)|dx 求f(a)+f(a+pi/2)的值 以及f(a)的最大最小值
pi是圆周率,积分上限是pi/2,下限是0,被积函数是|cos(x+a)|
1.求f(a)+f(a+pi/2)的值
2.求f(a)的最大最小值
ps:对这类函数变量是a,但是表示式里积分的却是x的函数比较困惑,解这类题的要点是什么?

Answer 1

令t=x+a,则
f(a)=∫[pi/2 0] |cos(x+a)|dx=∫[a+pi/2 a] |cost|dt,
f(a+pi/2)=∫[a+pi a+pi/2] |cost|dt,
所以f(a)+f(a+pi/2)=∫[a+pi a] |cost|dt
因为被积函数f(t)=|cost|是周期为pi的周期函数,所以
f(a)+f(a+pi/2)=∫[pi 0] |cost|dt=2
f‘(a)=|cos(a+pi/2)|-|cos(a)|
令f‘(a)=0,得a=npi-pi/4、a=npi+pi/4,其中n是整数
f(npi-pi/4)=∫[npi+pi/4 npi-pi/4] |cost|dt∫[pi/4 -pi/4] |cost|dt=根号2
f(npi+pi/4)=∫[npi+3pi/4 npi+pi/4] |cost|dt∫[3pi/4 pi/4] |cost|dt=2-根号2
所以maxf(a)=根号2,minf(a)=2-根号2
要点：题中对x积分,积分里的a就是个常数而已