∫(sinθ)^4dθ在pai到pai/2的定积分为什么等于3/4*1/2*pai/2?我算了一下∫(cosθ)^4dθ在pai/2到-pai/2的定积分也符合3/4*1/2*pai=3pai/8这样一个规律.请问这种计算方法与积分上下限的数值及被积函数有什么

Question

∫(sinθ)^4dθ在pai到pai/2的定积分为什么等于3/4*1/2*pai/2?
我算了一下∫(cosθ)^4dθ在pai/2到-pai/2的定积分也符合3/4*1/2*pai=3pai/8这样一个规律.请问这种计算方法与积分上下限的数值及被积函数有什么关系吗?谢谢

Answer 1

I (n) = ∫[0,π/2] (sinθ)^n dθ = ∫[0,π/2] (cosθ)^n dθ 可以推导出公式
当n为奇数时,I(n) = (n-1)!/ n!
当n为偶数时,I(n) = ( π/2) *（n-1)!/ n!
I(4) = ( π/2) * 3!/ 4!= ( π/2) * 3/(4*2) = 3π /16
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