几道积分问题,求助高数达人求不定积分：（sin2x)/√(2-cos^4x)dxx^2ln(1+x)dx以x为积分变量,用定积分表示下列面积：由抛物线y=x^2直线y=x及,x=2,y=0所围成的图形的面积.由曲线x=y^2及直线x=y+2所围成图

Question

几道积分问题,求助高数达人
求不定积分：
（sin2x)/√(2-cos^4x)dx
x^2ln(1+x)dx
以x为积分变量,用定积分表示下列面积：
由抛物线y=x^2直线y=x及,x=2,y=0所围成的图形的面积.
由曲线x=y^2及直线x=y+2所围成图形的面积.

Answer 1

∫（sin2x)/√(2-cos^4x)dx
=1/√2∫（sin2x)/√(1-cos^4x/2)dx
=1/√2*∫（sin2x)/√(1-(cos^2x/√2)^2)dx
因为(cos^2x)'=-2cosxsinx=-sin2x
则
∫（sin2x)/√(1-(cos^2x/√2)^2)dx
=-∫1/√(1-(cos^2x/√2)^2)d（cos^2x）
=-arcsinx+C
则∫（sin2x)/√(2-cos^4x)dx=1/√2*arcsinx+C
∫x^2ln(1+x)dx,
=∫ln(1+x)d(x^3/3)
=ln(1+x)*(x^3/3)-∫(x^3/3)d(ln(1+x))
=ln(1+x)*(x^3/3)-∫[x^3/(3+3x)]dx
=ln(1+x)*(x^3/3)-x^3/9+x^2/6-x/3+ln|x+1|/3+C
∫(x-x^2)dx+∫(x^2-x)dx
x-x^=0,
x=1,0
因为抛物线与直线交于点（1,1）(0,0)
则
前一个积分区间为[0,1],后一个积分区间为[1,2]
∫(y+2-y^2)dy
y+2=y^2
y=-1,2
因为抛物线与直线交于点（1,-1）(4,2)
积分区间为[-1,2]