求解全微分方程d^2u/da^2+u=GMm^2/p^2其中,GMmp为常数

Question

求解全微分方程
d^2u/da^2+u=GMm^2/p^2其中,GMmp为常数

Answer 1

令v=u-GMm^2/p^2则原方程等价于：d^2v/da^2+v=0方程两边同乘以2dv/da,可得：d/da[(dv/da)^2+v^2]=0积分得：(dv/da)^2+v^2=C要明白上面方程左边大于或等于零,因此限定了积分常数C大于或等于零.不妨令C=k^2,则得(dv/da)^2+v^2=k^2移项并开方可得：dv/da=±√(k^2-v^2)再作代换,令w=v/k,则有：dw/√(k^2-w^2)=±da令w=cosθ,带入化简可得：dθ=±da积分得：θ=±a+A,A是积分常数从而w=cosθ=cos(±a+A)=cos(a+B),A=±B从而v=kw=kcos(a+B)从而u=v+GMm^2/p^2=kcos(a+B)+GMm^2/p^2对于二阶微分方程,上面已经解完了；内含两个积分常数k和B.