如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转α（0＜α＜π2）得到正方形A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：①∠A′FE=α；②对任意α（0＜α＜π2），△EAL，△EA′F，△GBF

Question

如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转α （0＜α＜(π)/(2)）得到正方形A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：
①∠A′FE=α；
②对任意α （0＜α＜(π)/(2)），△EAL，△EA′F，△GBF，△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L均是全等三角形．
（1）设A′E=x，将x表示为α的函数；
（2）试确定α，使正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积．

Answer 1

（1）在Rt△EA′F中，因为∠A′FE=α，A′E=x，
所以EF=(x)/(sinα)，A′F=(x)/(tanα)．
由题意AE=A′E=x，BF=A′F=(x)/(tanα)，
所以AB=AE+EF+BF=x+(x)/(sinα)+(x)/(tanα)=3．
所以x=(3sinα)/(1+sinα+cosα)，α∈（0，(π)/(2)）                    …（6分）
（2）S_△A′EF=(1)/(2)•A′E•A′F=(1)/(2)•x•(x)/(tanα)=(x2)/(2tanα)
=（(3sinα)/(1+sinα+cosα)）²•(cosα)/(2sinα)=(9sinαcosα)/(2(1+sinα+cosα)2)．   …（10分）
令t=sinα+cosα，则sinαcosα=(t2−1)/(2)．
因为α∈（0，(π)/(2)），所以α+(π)/(4)∈（(π)/(4)，(3π)/(4)），所以t=√(2)sin（α+(π)/(4)）∈（1，√(作业帮用户2017-09-29问题解析（1）利用AB=AE+EF+BF=3，表示出相应线段长，即可将x表示为α的函数；（2）求正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，即求S△A′EF的最大值，表示出S△A′EF，利用换元法，即可求得面积的最大值，从而可得结论．名师点评本题考点：函数模型的选择与应用；函数最值的应用．考点点评：本题考查函数模型的构建，考查面积的计算，考查换元法，考查学生利用数学知识解决实际问题，属于中档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)